Die Wellengleichung (engl. wave equation) beschreibt die Elongation y eines Oszillators am Ort x zu einem Zeitpunkt t. Es handelt sich daher um eine Funktion mit zwei Parametern y=f(x,t).
Da eine Welle aus einer Reihe von Oszillatoren besteht, ist es nicht verwunderlich, dass die Wellengleichung ähnlich aufgebaut ist, wie die Gleichung eines harmonischen Oszillators, besitzt aber noch einen zusätzlichen Ausdruck für die Stelle x:
Die einzelnen Größen bedeuten im Einzelnen:
\(y_{max}\) ist die Amplitude der Welle (Amplitude der Oszillatoren)
\( \omega\) ist die Kreisfrequenz. In ihr steckt die Frequenz f der Welle \(\omega=2\pi \cdot f\)
Wenn du die Wellengleichung zeichnen möchtest, hast du zwei Möglichkeiten:
Wählst du für t einen fixen Zeitpunkt (z.B. t=0), erhältst du das Foto der Welle zu diesem Zeitpunkt.
Wählst du eine fixe Stelle x (z.B. x=0) entlang des Wellenmediums, erhältst du das Orts-Zeit-Diagramm des Oszillators an dieser Stelle.
Stell dir eine harmonische Transversalwelle auf einer Saite vor. Wir möchten die Elongation für jeden Punkt des Wellenmediums zu einem bestimmten Zeitpunkt t berechnen. Die Elongation für den ersten Oszillator kannst du dir mit Hilfe der Gleichung für die Elongation einer harmonischen Schwingung berechnen.
\(y(t) = y_{max}\cdot\sin(\omega\cdot t)\)
Alle anderen Oszillatoren des Wellenmediums bewegen sich zwar ebenfalls mit derselben Frequenz, aber zeitversetzt. Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle c, benötigt eine Störung die Zeit t=x/c, um vom Beginn des Wellenmediums an die Stelle x zu gelangen. Der Oszillator an der Stelle x bewegt sich daher um die Zeit x/c später wie der erste Oszillator – die Zeitverschiebung ist also -x/c. Seine Elongation kann daher mit \(y(x,t) = y_{max}\cdot\sin(\omega\cdot \left(t-\frac{x}{c}\right))\) beschrieben werden. Um diese Gleichung zu vereinfachen, drücken wir zunächst die Ausbreitungsgeschwindigkeit c als Vielfaches der Kreisfrequenz \( \omega\) aus.
\(\begin{aligned} c = {} & \lambda\cdot f \qquad\Bigr\rvert\;\omega = 2\pi f \rightarrow f= \frac{\omega}{2\pi}\\ c = {} & \frac{\lambda\cdot\omega}{2\pi} \qquad\Bigr\rvert\;\frac{1}{(\ldots)} \\ \frac{1}{c} = {} & \frac{2\pi}{\lambda\cdot\omega} \\ \end{aligned}\)
Einsetzen in die Gleichung liefert
\( y(x,t) = y_{max}\cdot\sin(\omega\cdot \left(t-\frac{2\pi}{\lambda\cdot\omega}\cdot x\right)) \)\( y(x,t) = y_{max}\cdot\sin(\omega\cdot t-\frac{2\pi}{\lambda}\cdot x) \)
Arbeitsauftrag: Lesen Sie S. 210 – 211
Übertragen Sie die den fettgedruckten Text im blauen Kasten auf S. 210 in Ihr Heft und erläutern Sie die darin vorkommenden physikalischen Größen.
Übungsaufgabe: S. 119 Nr. 1 a, b und skizzieren Sie die Welle in einem y-t für eine Periodendauer und in einem y-x-Diagramm für eine Wellenlänge
Freiwillige Zusatzaufgabe: Messen Sie die mit dem interaktiven Experiment die Wellenlänge und die Frequenz bei der größten Amplitude. Prüfen Sie Ergebnis, indem Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle bestimmen (Dazu kann man eine einzelne Störung erzeugen, indem man ohne Erregerfrequenz die Stoppuhr startet. Die Entfernung zu der ersten Markierung beträgt rund 24 cm.)
